Sphère Packing à courbures entières
ou "Bowl Of Integers" ' Family
Mise en garde
Tout amateur de jolie mathématique récréative doit être
averti que la sphère-packing-mania est contagieuse.
Afin de ne prendre aucun risque, ne lisez surtout pas la page Kissing-Circles
qui peut provoquer la version plane de la même addiction.
J'ai personnellement été "contaminé" par un
mail de mon ami Maurice
Starck contenant différents liens d'apparence inoffensive :
http://mathworld.wolfram.com/SoddyCircles.html
http://mathworld.wolfram.com/ApollonianGasket.html
http://www.sciencenews.org/articles/20010421/bob18.asp
http://www.math.ucsd.edu/~fan/ron/papers/03_02_appolonian.pdf
http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Descartes
http://mathforum.org/library/drmath/view/55110.html
http://www.ics.uci.edu/%7Eeppstein/junkyard/tangencies/apollonian.html
Après quelques semaines de circle packing , la suite était logique : un petit tour dans l'espace
Une victime célèbre : Frederick Soddy
Le pouvoir fascinant de ces configurations géométriques explique peut-être l'intrusion d'un prix Nobel de Chimie dans ce domaine pourtant très mathématique. Redécouvrant le théorème de Descartes sur les cercles tangents, il en fera une poésie (!!) The Kiss precise, étendra le résultat aux sphères :
A un quadruplet de kissing-sphères (4 sphères 2 à 2
tangentes en 6 points) de courbures c1 , c2 , c3 , c4 on peut en général
associer 2 nouvelles sphères chacune tangente aux 4 initiales
La courbure de chacune de ces 2 nouvelles sphères est solution de l'équation
Chacune de ces 2 nouvelles sphères peut se substituer à l'une
quelconque des 4 sphères initiales pour former un nouveau quadruplet
de sphères 2 à 2 tangentes.
On peut ainsi constituer 8 nouveaux quadruplets de kissing-sphères
En réitérant le procédé on assiste à une
prolifération de sphères tangentes.
Plus de précisions...
Si dans le quadruplet souche se trouve une sphère contenant les 3 autres
la prolifération restera contenue dans cette dernière.
Le plus surprenant (sauf si on connait déjà la version plane
de l'histoire) est à venir :
Certaines configuration ne génèrent que des courbures entières
!!!
(Une propriété similaire à celle des bon triplets de
courbure du circle packing le prouve)
A noter qu'il existe d'autres façons très différentes de packer la sphère
Place à la merveilleuse configuration de Soddy : Bowl of Integers
Bowl of Integers
Les premières courbures : -1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 17,
18, 20, 21, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 35, 36, 38, 39, 41, 42, 44, 45,
47, 48, 50, 51, 53, 54, 56, 57, 59, 60, 62, 63, 65, 66, 68, 69, 71, 72, 74,
75, 77, 78, 80, 81, 83, 84, 86, 87, 89, 90, 92, 93, 95, 96, 98, 99...
Ce type de fractalisation sphérique peut-ètre obtenue à
partir d'une sphère enveloppante de courbure -1, 2 sphères de
courbures 2 alignées sur un diamètre de la précédente
et une sphère de courbure 3 tangente aux 3 précédentes
mais avec cette "souche" minimale la fractalisation n'est pas homogène.
J'ai préféré partir d'une souche "améliorée"
de 9 sphères (les précédentes plus 5 autres de courbure
3) et un total de 18 quadruplets de kissing-spheres
Ci-dessous elles sont colorées par générations rouge=1,
vert=2, bleu=3 , magenta=4, jaune=5
A côté le graphe des tangences à la génération
3
(les segments dirigés vers l'extérieur symbolisent
une tangence avec la sphère enveloppante)
La fractalisation génère structurellement des sphères
tangentes (une sphère est créée pour être tangente
à 4 autres)
Elle génère aussi des tangences "fortuites"
Exemples avec les sphères de courbure 8 de la génération
3, de courbures 14 et 17 de la même génération, celles
de courbures 11 et 12 de la génération 4, celles de courbures
15 et 17 de la génération 5...
Les sphères bien coloriées avec 5 couleurs, la sphère
enveloppante devrait être rouge ce qui explique les 4 couleurs seules
à la périphérie
Ci-dessous, bien coloriées, à gauche, 8 générations
sur un "demi-Bowl of Integers"
En contenant la fractalisation à la périphérie, j'ai
pu atteindre la génération 9 (au milieu)
A droite, les générations 8 et 9 seulement en bord de packing
Un symptôme de l'addiction : vouloir son propre sphere packing
J'ai appelé le mien "Bingo" car une petite boucle lancée
entre 20 et 30 a tout de suite trouvé le bon quadruplet (21,25,27,28)
Il présentait la courbure 25, ce n'était donc pas une sous-configuration
de celle de Soddy
En remontant à la "souche" on obtient (-11, 21, 25, 27)
Le quadruplet souche (à gauche) avec la sphère de courbure
-11 contenant les 3 sphères de courbures 21,25,27
Au milieu on observe le packing jusqu'à la génération
3
A droite le graphe des relations de tangence à la quatrième
génération
Les segments dirigés vers l'extérieur symbolisent une tangence
avec la sphère enveloppante
Après quelques itérations supplémentaires
A gauche, 1530 sphères sur 7 générations,
de courbures : -11 (la sphère qui enveloppe les
autres) , 21, 25, 27, (le quadruplet souche,
génération 1)
28 et 34 (génération 2)
34, 36, 40, 42, 43, 46, 48, 49, 51, 54, 57, 61, 63, 64, 67, 69, 70, 72, 73,
75, 78, 79, 81, 82, 84, 85, 87, 90, 91, 93, 94, 96, 97, 100, 102, 103, 105,
106, 108, 109, 111, 112, 114, 115, 117, 118, 120, 121, 123, 124, 126, 127,
129, 130, 132, 133, 135, 136, 138, 139, 141, 142, 144, 145, 147, 148, 150,
151, 153, 154, 156, 157, 159, 160, 162, 163, 166, 168, 169, 171, 172, 174,
175, 177, 178, 180, 181, 183, 184, 186, 187, 189, 190, 192, 193, 195, 196,
199, 201, 202, 204, 205, 207, 208, 210, 211, 213, 214, 216, 217, 219, 220,
222, 223, 225, 226, 228, 229, 231, 232, 234, 235, 237, 238, 241, 243, 244,
246, 247, 249, 250, 252, 253, 255, 256, 258, 259, 262, 265, 267, 268, 270,
271, 273, 274, 276, 277, 279, 280, 282, 283, 285, 286, 288, 289, 291, 292,
294, 295, 297, 298, 300, 301, 303, 304, 306, 307, 309, 310, 312, 313, 315,
316, 319, 321, 322, 324, 325, 327, 328, 331, 333, 334, 336, 337, 339, 340,
342, 343, 345, 346, 348, 349, 351, 352, 354, 355, 357, 358, 360, 361, 363,
364, 366, 367, 369, 370, 372, 373, 375, 376, 378, 379, 381, 382, 384, 385,
387, 388, 390, 391, 393, 394, 396, 397, 399, 400, 402, 403, 405, 406, 408,
409, 411, 412, 414, 415, 417, 418, 420, 421, 423, 424, 426, 427, 429, 430,
432, 433, 435, 436, 438, 439, 441, 442, 444, 445, 447, 448, 450, 451, 453,
456, 457, 459, 460, 462, 463, 468, 469, 471, 472, 474, 475, 477, 478, 480,
481, 483, 484, 486, 487, 489, 490, 493, 495, 496, 498, 499.......1249
Notes techniques : "ma" configuration est plus simple à mettre
en oeuvre que "Bowl of Integers"
Cette dernière génère des couronnes de sphères
tangentes de même rayon ce qui rend délicat la reproduction optimisée
des sphères (..)
Pour obtenir la condition qui fait d'un quadruplet un bon quadruplet de courbures,
il suffit de se poser la question :
Quand les solutions de l'équations aux courbures sont-elles entières
?
Les plus motivés pourront démontrer que cette qualité
est héréditaire...
L'image ci-dessous a été aimablement réalisée
par Jos
Leys
(http://www.josleys.com/galleries.php?catid=8
est une de ces nombreuses galeries est consacrée au sphère-packing)
Grâce au logiciel Ultrafractal et une technique basée sur les
inversions, il nous permet de découvrir en coupe des centaines de milliers
de sphères !
et la spécificité de ce sphère-packing : sa grande irrégularité
Five colors suffice ?
Il semble que ces sphere-packings soient bien* coloriables avec 5 couleurs
seulement.
(*2 sphères de même couleur ne doivent pas se toucher)
Jusqu'à la 7ème génération "ça marche".
Bingo en 5 couleurs :
Un sphère packing presque tétraédral
Au contraire du précédent , le sphere packing suivant présente
une certaine régularité.
Inscrit dans une sphère de courbure -3, 3 sphères de courbure
7 , sur lesquelles vient se poser une sphère de courbure 6
Ce sphère packing à courbures entières admet une symétrie
de révolution d'ordre 3
Du travail d'orfèvre, toujours signé Jos Leys !
Encore une configuration différente
Une sphère de courbure 33 posée sur 3 sphères de courbure
331, le tout dans une sphère de courbure -30
Ont été retenues ci-dessous respectivement les sphères
de courbure < 900 et < 400 des 23 premières générations
Pas de limitation, ou presque, pour Jos Leys
une petite vidéo
QuickTime (500K)
Un dernier symptôme : émettre des conjectures
Les miennes :
Malgré leur apparente différence, "Bingo" et "Bowl
of Integers" sont (leurs graphes) isomorphes
et peut-être image l'un de l'autre par une inversion
(tant pis pour ma configuration qui ne serait donc qu'une déformation
de Bowl of Integers)
Tous ces sphere-packings sont effectivement bien coloriables avec 5 couleurs.
Il y a une infinité de sphère-packings à courbures entières.
????????
????
??
?
Ma première conjecture n'en est partiellement plus une:
Dans tous ces sphère packings, autour de 2 sphères tangentes
entre elles et tangentes avec la sphères enveloppante, tourne toujours
un hexlet (..)
En choisissant ces 9 neufs sphères (1+2+6) comme souche améliorée,
on retrouve, en un peu tordu, bowl of integers de Soddy
Dans le cas précis de Bingo, on peut l'obtenir à l'aide d'une
inversion de rapport 2 "bien centrée"
Ci-dessous un Bingo généré par inversion de Bowl of Integers
et relooké pour lui ressembler un peu plus.
Pour la deuxième, si c'est vrai pour une configuration, c'est vrai pour toutes d'après ce qui précède
La troisième est prouvée : les quadruplets (-6n² , 12n²+1
, 12n²+1 , 18n²-6n+1) avec n entier sont tous de bon quadruplets
de courbures (..)
et génèrent des sphère packings à courbures entières
à volonté
Carpet of integers (Starck-Hannachi avril 2006)
0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 28,
30, 31, 33, 34, 36, 37, 39, 40, 42, 43, 45, 46, 48, 49, 51, 52, 54, 55, 57,
58, 60, 61, 63, 64, 66, 67, 69, 70, 72, 73, 75, 76, 78, 79, 81, 82, 84, 85,
87, 88, 90, 91, 93, 94, 96, 97, 99... sont les courbures, toutes entières
qui apparaissent dans ce packing "coincé" entre 2 plans construit
selon le même principe
(les 2 plans ont pour courbure 0 et remplacent 2 sphères du packing)
Aucune courbure n'est congrue à 2 modulo 3 (prouvé), toutes
les autres semblent présentes (conjecture)
De cette configuration se déduisent par inversion toutes celles vue
précédemment (prouvé) et semble-t-il tout sphère
packing à courbures entières (presque prouvé).
Ce nouveau packing reste invariant par un groupe d'isométrie isomorphe
à p6m x C2
(p6m = le plus "riche" du groupe des paveurs, C2 = groupe cyclique
d'ordre2)
et 2 petits films :
CARPET (4.8M) & INSIDE
CARPET (3.3M)
L'image ci-dessous nous dévoile 9 inversions (bien choisies) de cette
configuration
Uniquement des packing à courbures entières, leurs signatures
(courbure des 4 plus grosses sphères) sont
{-1, 2, 2, 3}, {-2, 3, 6, 7}, {-3, 6, 7, 7}, {-3, 5, 8, 8}, {-4, 8, 9, 9},
{-5, 9, 12, 13}, {-6, 13, 13, 13}, {-6, 11, 14, 15}, {-6, 10, 15, 19}}
Le fond sablonneux de l'océan et la surface de l'eau sont les 2 plans
qui encadrent notre tapis (et en font partie)
Ils sont envoyés par inversion respectivement sur les boules de sable
et les bulles transparentes.
La souche du tapis est constitutée de ces 2 plans, de la sphère
noire centrale et des sphères rouges qui l'entourent.
Les générations 2,3,4, et 5 sont respectivement verte, bleue,
magenta et jaune
Derrière l'image, un lien vers une version 5400x3600
Références : MathWorld et de nombreuses pages accessibles
par les mots clef Circle Packing , Sphere Packing
Je remercie Maurice
Starck de m'avoir entrainé dans ce sujet passionnant
Je remercie également Jos
Leys pour son coup de main
