Sphère Packing à courbures entières
ou "Bowl Of Integers" ' Family

Mise en garde

Tout amateur de jolie mathématique récréative doit être averti que la sphère-packing-mania est contagieuse.
Afin de ne prendre aucun risque, ne lisez surtout pas la page Kissing-Circles qui peut provoquer la version plane de la même addiction.
J'ai personnellement été "contaminé" par un mail de mon ami Maurice Starck contenant différents liens d'apparence inoffensive :

http://mathworld.wolfram.com/SoddyCircles.html
http://mathworld.wolfram.com/ApollonianGasket.html
http://www.sciencenews.org/articles/20010421/bob18.asp
http://www.math.ucsd.edu/~fan/ron/papers/03_02_appolonian.pdf
http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Descartes
http://mathforum.org/library/drmath/view/55110.html
http://www.ics.uci.edu/%7Eeppstein/junkyard/tangencies/apollonian.html

Après quelques semaines de circle packing , la suite était logique : un petit tour dans l'espace

Une victime célèbre : Frederick Soddy

Le pouvoir fascinant de ces configurations géométriques explique peut-être l'intrusion d'un prix Nobel de Chimie dans ce domaine pourtant très mathématique. Redécouvrant le théorème de Descartes sur les cercles tangents, il en fera une poésie (!!) The Kiss precise, étendra le résultat aux sphères :

A un quadruplet de kissing-sphères (4 sphères 2 à 2 tangentes en 6 points) de courbures c1 , c2 , c3 , c4 on peut en général associer 2 nouvelles sphères chacune tangente aux 4 initiales
La courbure de chacune de ces 2 nouvelles sphères est solution de l'équation


Chacune de ces 2 nouvelles sphères peut se substituer à l'une quelconque des 4 sphères initiales pour former un nouveau quadruplet de sphères 2 à 2 tangentes.
On peut ainsi constituer 8 nouveaux quadruplets de kissing-sphères

En réitérant le procédé on assiste à une prolifération de sphères tangentes.
Plus de précisions...

Des vidéos...


Si dans le quadruplet souche se trouve une sphère contenant les 3 autres la prolifération restera contenue dans cette dernière.
Le plus surprenant (sauf si on connait déjà la version plane de l'histoire) est à venir :
Certaines configuration ne génèrent que des courbures entières !!!
(Une propriété similaire à celle des bon triplets de courbure du circle packing le prouve)

A noter qu'il existe d'autres façons très différentes de packer la sphère

Place à la merveilleuse configuration de Soddy : Bowl of Integers

Bowl of Integers


Les premières courbures : -1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 35, 36, 38, 39, 41, 42, 44, 45, 47, 48, 50, 51, 53, 54, 56, 57, 59, 60, 62, 63, 65, 66, 68, 69, 71, 72, 74, 75, 77, 78, 80, 81, 83, 84, 86, 87, 89, 90, 92, 93, 95, 96, 98, 99...

Ce type de fractalisation sphérique peut-ètre obtenue à partir d'une sphère enveloppante de courbure -1, 2 sphères de courbures 2 alignées sur un diamètre de la précédente et une sphère de courbure 3 tangente aux 3 précédentes mais avec cette "souche" minimale la fractalisation n'est pas homogène.
J'ai préféré partir d'une souche "améliorée" de 9 sphères (les précédentes plus 5 autres de courbure 3) et un total de 18 quadruplets de kissing-spheres
Ci-dessous elles sont colorées par générations rouge=1, vert=2, bleu=3 , magenta=4, jaune=5
A côté le graphe des tangences à la génération 3
(les segments dirigés vers l'extérieur symbolisent une tangence avec la sphère enveloppante)
La fractalisation génère structurellement des sphères tangentes (une sphère est créée pour être tangente à 4 autres)
Elle génère aussi des tangences "fortuites"
Exemples avec les sphères de courbure 8 de la génération 3, de courbures 14 et 17 de la même génération, celles de courbures 11 et 12 de la génération 4, celles de courbures 15 et 17 de la génération 5...


Les sphères bien coloriées avec 5 couleurs, la sphère enveloppante devrait être rouge ce qui explique les 4 couleurs seules à la périphérie

Ci-dessous, bien coloriées, à gauche, 8 générations sur un "demi-Bowl of Integers"
En contenant la fractalisation à la périphérie, j'ai pu atteindre la génération 9 (au milieu)
A droite, les générations 8 et 9 seulement en bord de packing

  

Un symptôme de l'addiction : vouloir son propre sphere packing

J'ai appelé le mien "Bingo" car une petite boucle lancée entre 20 et 30 a tout de suite trouvé le bon quadruplet (21,25,27,28)
Il présentait la courbure 25, ce n'était donc pas une sous-configuration de celle de Soddy
En remontant à la "souche" on obtient (-11, 21, 25, 27)

Le quadruplet souche (à gauche) avec la sphère de courbure -11 contenant les 3 sphères de courbures 21,25,27
Au milieu on observe le packing jusqu'à la génération 3
A droite le graphe des relations de tangence à la quatrième génération
Les segments dirigés vers l'extérieur symbolisent une tangence avec la sphère enveloppante


Après quelques itérations supplémentaires



A gauche, 1530 sphères sur 7 générations,
de courbures : -11 (la sphère qui enveloppe les autres) , 21, 25, 27, (le quadruplet souche, génération 1)
28 et 34 (génération 2)
34, 36, 40, 42, 43, 46, 48, 49, 51, 54, 57, 61, 63, 64, 67, 69, 70, 72, 73, 75, 78, 79, 81, 82, 84, 85, 87, 90, 91, 93, 94, 96, 97, 100, 102, 103, 105, 106, 108, 109, 111, 112, 114, 115, 117, 118, 120, 121, 123, 124, 126, 127, 129, 130, 132, 133, 135, 136, 138, 139, 141, 142, 144, 145, 147, 148, 150, 151, 153, 154, 156, 157, 159, 160, 162, 163, 166, 168, 169, 171, 172, 174, 175, 177, 178, 180, 181, 183, 184, 186, 187, 189, 190, 192, 193, 195, 196, 199, 201, 202, 204, 205, 207, 208, 210, 211, 213, 214, 216, 217, 219, 220, 222, 223, 225, 226, 228, 229, 231, 232, 234, 235, 237, 238, 241, 243, 244, 246, 247, 249, 250, 252, 253, 255, 256, 258, 259, 262, 265, 267, 268, 270, 271, 273, 274, 276, 277, 279, 280, 282, 283, 285, 286, 288, 289, 291, 292, 294, 295, 297, 298, 300, 301, 303, 304, 306, 307, 309, 310, 312, 313, 315, 316, 319, 321, 322, 324, 325, 327, 328, 331, 333, 334, 336, 337, 339, 340, 342, 343, 345, 346, 348, 349, 351, 352, 354, 355, 357, 358, 360, 361, 363, 364, 366, 367, 369, 370, 372, 373, 375, 376, 378, 379, 381, 382, 384, 385, 387, 388, 390, 391, 393, 394, 396, 397, 399, 400, 402, 403, 405, 406, 408, 409, 411, 412, 414, 415, 417, 418, 420, 421, 423, 424, 426, 427, 429, 430, 432, 433, 435, 436, 438, 439, 441, 442, 444, 445, 447, 448, 450, 451, 453, 456, 457, 459, 460, 462, 463, 468, 469, 471, 472, 474, 475, 477, 478, 480, 481, 483, 484, 486, 487, 489, 490, 493, 495, 496, 498, 499.......1249


Notes techniques : "ma" configuration est plus simple à mettre en oeuvre que "Bowl of Integers"
Cette dernière génère des couronnes de sphères tangentes de même rayon ce qui rend délicat la reproduction optimisée des sphères (..)
Pour obtenir la condition qui fait d'un quadruplet un bon quadruplet de courbures, il suffit de se poser la question :
Quand les solutions de l'équations aux courbures sont-elles entières ?
Les plus motivés pourront démontrer que cette qualité est héréditaire...

2 photos et 2 petites vidéos (de 3 et 4.5 mégas)

    

L'image ci-dessous a été aimablement réalisée par Jos Leys
(http://www.josleys.com/galleries.php?catid=8 est une de ces nombreuses galeries est consacrée au sphère-packing)
Grâce au logiciel Ultrafractal et une technique basée sur les inversions, il nous permet de découvrir en coupe des centaines de milliers de sphères !
et la spécificité de ce sphère-packing : sa grande irrégularité


Five colors suffice ?

Il semble que ces sphere-packings soient bien* coloriables avec 5 couleurs seulement.
(*2 sphères de même couleur ne doivent pas se toucher)
Jusqu'à la 7ème génération "ça marche".
Bingo en 5 couleurs :

Un sphère packing presque tétraédral

Au contraire du précédent , le sphere packing suivant présente une certaine régularité.
Inscrit dans une sphère de courbure -3, 3 sphères de courbure 7 , sur lesquelles vient se poser une sphère de courbure 6
Ce sphère packing à courbures entières admet une symétrie de révolution d'ordre 3

Du travail d'orfèvre, toujours signé Jos Leys !



  

Encore une configuration différente

Une sphère de courbure 33 posée sur 3 sphères de courbure 331, le tout dans une sphère de courbure -30
Ont été retenues ci-dessous respectivement les sphères de courbure < 900 et < 400 des 23 premières générations

Pas de limitation, ou presque, pour Jos Leys

une petite vidéo QuickTime (500K)

 

Un dernier symptôme : émettre des conjectures

Les miennes :

Malgré leur apparente différence, "Bingo" et "Bowl of Integers" sont (leurs graphes) isomorphes
et peut-être image l'un de l'autre par une inversion
(tant pis pour ma configuration qui ne serait donc qu'une déformation de Bowl of Integers)

Tous ces sphere-packings sont effectivement bien coloriables avec 5 couleurs.

Il y a une infinité de sphère-packings à courbures entières.

????????
????
??
?

Ma première conjecture n'en est partiellement plus une:
Dans tous ces sphère packings, autour de 2 sphères tangentes entre elles et tangentes avec la sphères enveloppante, tourne toujours un hexlet (..)
En choisissant ces 9 neufs sphères (1+2+6) comme souche améliorée, on retrouve, en un peu tordu, bowl of integers de Soddy
Dans le cas précis de Bingo, on peut l'obtenir à l'aide d'une inversion de rapport 2 "bien centrée"
Ci-dessous un Bingo généré par inversion de Bowl of Integers et relooké pour lui ressembler un peu plus.

   

Pour la deuxième, si c'est vrai pour une configuration, c'est vrai pour toutes d'après ce qui précède

La troisième est prouvée : les quadruplets (-6n² , 12n²+1 , 12n²+1 , 18n²-6n+1) avec n entier sont tous de bon quadruplets de courbures (..)
et génèrent des sphère packings à courbures entières à volonté

Carpet of integers (Starck-Hannachi avril 2006)

0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 30, 31, 33, 34, 36, 37, 39, 40, 42, 43, 45, 46, 48, 49, 51, 52, 54, 55, 57, 58, 60, 61, 63, 64, 66, 67, 69, 70, 72, 73, 75, 76, 78, 79, 81, 82, 84, 85, 87, 88, 90, 91, 93, 94, 96, 97, 99... sont les courbures, toutes entières qui apparaissent dans ce packing "coincé" entre 2 plans construit selon le même principe
(les 2 plans ont pour courbure 0 et remplacent 2 sphères du packing)
Aucune courbure n'est congrue à 2 modulo 3 (prouvé), toutes les autres semblent présentes (conjecture)

De cette configuration se déduisent par inversion toutes celles vue précédemment (prouvé) et semble-t-il tout sphère packing à courbures entières (presque prouvé).
Ce nouveau packing reste invariant par un groupe d'isométrie isomorphe à p6m x C2
(p6m = le plus "riche" du groupe des paveurs, C2 = groupe cyclique d'ordre2)


     et 2 petits films :

 

CARPET (4.8M) & INSIDE CARPET (3.3M)
L'image ci-dessous nous dévoile 9 inversions (bien choisies) de cette configuration
Uniquement des packing à courbures entières, leurs signatures (courbure des 4 plus grosses sphères) sont
{-1, 2, 2, 3}, {-2, 3, 6, 7}, {-3, 6, 7, 7}, {-3, 5, 8, 8}, {-4, 8, 9, 9}, {-5, 9, 12, 13}, {-6, 13, 13, 13}, {-6, 11, 14, 15}, {-6, 10, 15, 19}}
Le fond sablonneux de l'océan et la surface de l'eau sont les 2 plans qui encadrent notre tapis (et en font partie)
Ils sont envoyés par inversion respectivement sur les boules de sable et les bulles transparentes.
La souche du tapis est constitutée de ces 2 plans, de la sphère noire centrale et des sphères rouges qui l'entourent.
Les générations 2,3,4, et 5 sont respectivement verte, bleue, magenta et jaune
Derrière l'image, un lien vers une version 5400x3600

 

Références : MathWorld et de nombreuses pages accessibles par les mots clef Circle Packing , Sphere Packing

Je remercie Maurice Starck de m'avoir entrainé dans ce sujet passionnant
Je remercie également Jos Leys pour son coup de main

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