J'ai croisé plusieurs fois ces dessins sans comprendre la signification de ces nombres.
Ces remplissages de disques à base de disques tangents ne sont pas seulement esthétiques :
ils n'utilisent que des disques de courbures entières, c'est elles qui sont indiquées !

Remarque : le paragraphe qui suit a été rédigé il y a quelques années, je tente d'expliquer de façon assez laborieuse mais avec des connaissances modestes ce phénomène surprenant. A tout amateur de circle packing je recommande plutôt la technique des inversions (développée plus bas) et surtout les coordonnées inversives qui permettent de gérer les cercles et les droites (orientées) de la même façon et de rendre les inversions linéaires.

Kissing Circles

Nous appellerons kissing-tricercle un ensemble de 3 cercles 2 à 2 tangents en 3 points distincts
A un tel trio on peut associer en général 2 autres cercles (en bleu et rouge) chacun tangent aux trois initiaux, mais pas tangents entre eux.
Sur les 2 exemples le numéro désigne la courbure, celle ci est comptée négativement quand le cercle correspondant entoure les autres.

Exemple 1 : sans cercle de courbure négative

Exemple 2 : avec un cercle de courbure négative

Chacun des 2 nouveaux cercles peut s'associer à 2 des 3 cercles initiaux pour former un nouveau kissing-tricercle.
On peut ainsi constituer 6 nouveaux kissing-tricercles "fils" à partir d'un kissing-tricercle "père"
Ils sont listés, pour l'exemple 2, en première ligne ci-dessous


Comme on l'imagine en regardant la deuxième ligne, les kissing-tricercles "fils" auront eux aussi une sextuple descendance si on leur adjoint la paire de nouveaux cercles tri-tangents (bleu-rouge), mais attention, on retrouvera dans la descendance de chacun le kissing-tricercle d'origine (-6,11,14) devenu grand-père et petit-fils!
On trouvera également quelques descendants communs (exemple (11,14,23))
Une parade à cette prolifération inutile est d'éliminer le cercle bleu ou rouge s'il a une courbure inférieure à la plus grande des 3 coubures (..)
Cette reproduction des kissing-tricercles est le principe de réalisation de ces dessins

Que des courbures entières !

Elucidons maintenant le mystère de ces coubures entières qui se transmettent à toute la descendance !!

Cela est du à la seconde fonction symétrique élémentaire du triplet de coubures d'origine qui est un carré parfait
()
et au théorème de Descartes sur les cercles tangents :

c1, c2 , c3 désignant les courbures d'un kissing-tricercle, les cercles bleu et rouge qu'on peut leur adjoindre ont des courbures c et c'
qui sont les solutions de l'équation

D'où (..) c = et c' =

Appelons bon triplet tout triplet d'entiers dont la seconde fonction symétrique élémentaire est un carré parfait

Supposons que (c1,c2,c3) est un bon triplet

Tout d'abord, c et c' sont entiers !

Lorsqu'on calcule la seconde fonction symétrique élémentaire du triplet (c1,c2,c) on obtient
le carré de (...) qui est entier par hypothèse !


Ainsi (c1,c2,c) est un bon triplet
De même (c2,c3,c) , (c1,c3,c) , (c1,c2,c') , (c2,c3,c') , (c1,c3,c') sont de bons triplets

Les six kissing-tricercles fils ont comme leur père de bons triplets de coubures...

Des centres de coordonnées rationnelles !

Notons cz1 , cz2 , cz3 , cz et cz' les nombres complexes constitués en multipliant la courbure de chaque cercle par l'affixe de son centre.


Alors (...) cz et cz' sont les solutions de l'équation


D'où (..) cz = cz1+cz2+cz3 - cz et cz' = cz1+cz2+cz3 + cz
cz désigne une des 2 racines carrée complexe "bien choisie" de cz1cz2 + cz2cz3 + cz3cz1
Tout le problème est de bien choisir cz pour obtenir le bon couplage (cz,c) et (cz',c')


Pour la suite nous appellerons rationnel complexe tous nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont rationnelles.
Nous appellerons également C-bon-triplet, tout triplet de rationnels complexes dont la seconde fonction symétrique élémentaire est le carré d'un rationnel complexe.

Supposons que (cz1,cz2,cz3) est un C-bon-triplet
Notons cz la racine carrée bien choisie de cz1cz2+cz2cz3+cz3cz1, par hypothèse c'est un rationnel complexe et
cz = cz1+cz2+cz3 - cz et cz' = cz1+cz2+cz3 + cz
Donc , cz et cz' sont des rationnels complexes
Lorsqu'on calcule la seconde fonction symétrique élémentaire du triplet (cz1,cz2,cz) on obtient (...)
le carré de cz1+cz2 - cz qui est un un rationnel complexe


Ainsi (cz1,cz2,cz) est un C-bon-triplet
De même (cz2,cz3,cz) , (cz1,cz3,cz) , (cz1,cz2,cz') , (cz2,cz3,cz') , (cz1,cz3,cz') sont de C-bons-triplets

Les six kissing-tricercles fils ont comme leur père de C-bons-triplets de "centre*courbure"


Nous appellerons bon-kissing-tricercle tout tricercle tel que
le triplet des courbures est un bon triplet et le triplet des produits centre*courbure est un C-bon-triplet.
On déduit facilement que la descendance d'un bon-kissing-tricercle n'est constituée que de bon-kissing-tricercles, puis que les centres de ces cercles ont des coordonnées rationnelles.
Sur chaque diagramme de cette page, le kissing-tricercle souche a cette qualité et la transmet à sa fractale descendance.

Vers une détermination linéaire de la descendance d'un bon-kissing-tricercle

Considérons un bon-kissing-tricercle, associons-lui le couple de quadruplets :
( (c1 , c2 , c3 , c) , (cz1 , cz2 , cz3 , cz) ) constitué
des courbures c1 , c2 , c3 et c LA racine carrée (entière!) de c1c2+c2c3+c3c1 ,
des produits centre*courbure cz1 , cz2 , cz3 et cz la "bonne" racine carrée (rationnel complexe) de cz1cz2+cz2cz3+cz3cz1

D'après ce qui précède et après expérimentation, les 6 bons-kissing-tricercles fils semblent avoir pour signature (sous le même format) :

( (c1 , c2 , c1+c2+c3-c , c1+c2-c) , (cz1 , cz2 , cz1+cz2+cz3-cz , cz1+cz2-cz) )
( (c1 , c3 , c1+c2+c3-c , c1+c3-c) , (cz1 , cz3 , cz1+cz2+cz3-cz , cz1+cz3-cz) )
( (c2 , c3 , c1+c2+c3-c , c2+c3-c) , (cz2 , cz3 , cz1+cz2+cz3-cz , cz2+cz3-cz) )
( (c1 , c2 , c1+c2+c3+c , c1+c2+c) , (cz1 , cz2 , cz1+cz2+cz3+cz , cz1+cz2+cz) )
( (c1 , c3 , c1+c2+c3+c , c1+c3+c) , (cz1 , cz3 , cz1+cz2+cz3+cz , cz1+cz3+cz) )
( (c2 , c3 , c1+c2+c3+c , c2+c3+c) , (cz2 , cz3 , cz1+cz2+cz3+cz , cz2+cz3+cz) )

Courbure nulle

L'intérêt du codage ( (c1 , c2 , c3 , c) , (cz1 , cz2 , cz3 , cz) ) est qu'il autorise un "cercle" de courbure nulle c'est à dire une droite
L'algorithme de prolifération fonctionne sans adaptation majeure à condition adopter le bon cz pour la droite (?!?)

Un pavage du plan

Il est en background de cette page

Autres circle-packing, technique des inversions

Les circle packing développés jusqu'ici ne sont que des cas particuliers de l'Apollonian circle packing qui est plus communément généré par 4 cercles initiaux et 4 cercles d'inversion

Le plus simple est de considérer 3 cercles de même rayon, 2 à 2 tangents, puis de les envelopper dans un quatrième cercle, ce sont les 4 cercles initiaux, représentés par des disques, figure de gauche.

On construit alors 4 cercles d'inversion, devant être chacun, orthogonal à 3 des cercles initiaux, ils ont représentés figure de gauche en pointillé.

Chaque cercle d'inversion est l'ensemble des points fixes d'une inversion, en appliquant ces 4 inversions et leurs composées à nos disques initiaux, on obtient des disques tangents remplissant le plus grand de nos cercles initiaux, après quelques itération en figure centrale

Enfin en appliquant une inversion dont le pôle se situe au point de contact du cercle initial enveloppant et du cecle initial le plus à droite, ces 2 derniers deviennent 2 droites parallèles, les autres remplissentent l'interstice entre ces 2 droites, figure de droite

lorsque les 3 cercles initiaux ne se touchent pas, le packing est coloriable en 2 couleurs

Attention, le packing se développe convenablement ssi les cercles d'inversion se coupe sous un angle égal à une fraction de pi

espacés mais différemment

avec plus de 3 cercles

 

En 3D

pour en savoir plus, cliquer sur l'image

Références : MathWorld et de nombreuses pages accessibles par le mot clef Circle Packing.
Merci à Maurice Starck sans qui je ne connaîtrais pas le Circle Packing

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