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On dira que 4 sphères "s'embrassent" si elles sont tangentes
2 à 2 (en 6 points) A un tel quadruplet "père" on peut en général associer 2 sphères "filles" chacune tangente aux 4 kissing-sphères mais pas tangentes entre elles Pour notre exemple elles sont représentées à droite en rouge et vert et ont pour courbures respectives 157 et 28 Chacune de ces 2 sphères filles peut se substituer à l'un quelconque des 4 mères pour former un nouveau quadruplet de kissing sphères, de la sorte on peut en constituer 8, illustration ci-dessous |
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La détermination de ces 2 sphères filles est considérablement facilitée par l'équation "aux courbures" vérifiée par les courbures de 5 sphères 2 à 2 tangentes : (c1+c2+c3+c4+c5)² = 3(c1²+c2²+c3²+c4²+c5²) (Descartes-Soddy) Ainsi lorsque c1, c2, c3, c4 sont les courbures de 4 kissing sphères,
les courbures de leurs 2 filles sont les 2 solutions de (c1+c2+c3+c4+X)²
= 3(c1²+c2²+c3²+c4²+X²) Précisons que dans toutes nos équations la courbure d'une sphère devra être comptée négativement lorsqu'elle englobe les autres (il n'y aura jamais plus d'une telle sphère par packing , ce signe qui parait dépendre des autres sphères qui accompagnent celle de courbure négative est en fait définitivement attaché à cette sphère) Partant de un ou plusieurs quadruplet(s) appelé(s) souche et en répétant ce procédé de multiplication des kissings sphères on obtient une prolifération de sphères tangentes. Les sphères et les quadruplets de kissing sphères de la souche sont considérés de génération 1, celles et ceux produits par la première phase de reproduction sont de génération 2 ... Dans l'exemple ci-dessus il y a 4 sphères de génération
1 formant l'unique quadruplet de génération 1 constituant
la souche, en rouge et vert 2 sphères de génération
2 permettant de constituer les 8 quadruplets de génération
2, à partir de la génération 3 ça se complique
! La fille de courbure 112 est en fait une grand-mère, présente dans la souche, ce genre de réapparition chronique pimente un peu la programmation de la fractalisation (..) La fille de courbure -11 est une sphère "englobante", très remarquable puisqu'elle constitue la frontière du packing complet |
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En explorant partiellement la descendance des 2 quadruplets En substituant ces 2 nouvelles sphères respectivement à celles de courbures 27 et 28 on obtient les 2 nouveaux quadruplets (-11, 21 , 25 , 34) et (-11, 21 , 25 , 36) qui vont produire des sphères filles déjà présentes et 2 sphères de courbures 42 et 43 qui sont miraculeusement tangentes (voir ci-dessous) En fait ce n'est pas un miracle mais un hexlet qui se referme, ce phénomène différencie considérablement le circle packing du sphère-packing Dans ce dernier, des zones différentes de fractalisation se rejoignent
très fréquemment, et c'est toujours pour "un baiser",
jamais pour une intersection ! A noter que les hexlets, très nombreux dans tous ces sphères packing ne sont pas les seuls lieux de tancence fortuite La simplicité de l'équation aux courbures, cette occupation
naturellement optimale de l'espace sont déjà 2 phénomènes
remarquables, celui qui vient les surpassent, vous l'aurez observer sur
cet exemple les courbures de nos sphères sont entières,
celles représentées et celles du packing TOUT ENTIER
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